Задача 6.1. Двоє гравців по черзі кладуть п’ятикопійчані монети на прямокутний стіл. Монети повинні повністю вміщуватися на столі і не торкатися одна одної. Той, кому нікуди покласти монету, програє. Хто переможе при правильній грі ― той, що ходить першим чи той, хто другим?
Задача 6.2. На колі розставлено 20 точок. За хід дозволяється сполучити будь-які дві з них відрізком, що не перетинає відрізків, які проведено раніше. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі ― той, що ходить першим чи той, хто другим?
Задача 6.3. Двоє гравців по черзі ставлять коней на клітинки шахової дошки так, що коні не б’ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі ― той, що ходить першим чи той, хто другим?
Задача 6.4. Ромашка має: а) 12 пелюсток; б) 11 пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну, або дві пелюстки, що ростуть поруч. Із двох гравців програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі?
Задача 6.5. Двоє гравців по черзі ставлять хрестики і нулики в клітинки дошки 9 ´ 9. Перший гравець ставить хрестик, другий ― нулик. Наприкінці гри треба підрахувати, скільки є рядків і стовпчиків, у яких хрестиків більше, ніж нуликів ― це є очки, набрані першим гравцем. Кількість рядків і стовпців, де нуликів більше ― очки другого гравця. Перемагає той, у кого більше очок. Хто переможе при правильній грі?
Задача 6.6. Вісім кружечків розфарбовано в чотири кольори: 2 червоних, 2 синіх, 2 білих і 2 чорних. Два гравці по черзі закріплюють кружечки до вершин куба. Перший виграє, якщо після закріплення всіх кружечків з деякої вершини куба можна провести ребро, до кінців якого закріплено кружечки одного кольору. Інакше виграє другий гравець. Хто виграє в цій грі?
Задача 6.7. Двоє гравців по черзі зафарбовують клітинки на клітчастій дошці розміром 200 ´ 5. Кожним ходом зафарбовуються декілька клітинок, що утворюють квадрат. Зафарбовувати клітинки двічі не дозволяється. Виграє той, хто зафарбовує останню клітинку. Доведіть, що гравець, який починає, завжди може виграти.
Задача 6.8. Двоє гравців ставлять королі у клітинки дошки 9 ´ 9 так, що королі не б’ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід.
Задача 6.9. Дано клітчасту дошку 10 ´ 10. За хід дозволяється покрити будь-які дві сусідні клітинки прямокутником 1 ´ 2 так, щоб прямокутники не перекривались. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі?
Задача 6.10. В кожній клітинці дошки 11 ´ 11 стоїть шашка. За хід дозволяється зняти з дошки будь-яку кількість шашок, що йдуть підряд, в одному рядку або стовпці. Виграє той, хто зняв останню шашку. хід. Хто переможе при правильній грі?
Задача 6.11. (Районна олімпіада, 1992-1993 н. р.) Два гравці по черзі записують числа 1 і –1 в клітинки таблиці розмірами 1993 ´ 1993. Після того, як всі клітинки заповнені, для кожного рядка, кожного стовпчика і двох діагоналей таблиці підраховується добуток чисел, які там записані. Доведіть, що гравець, який робить хід першим, може грати так, щоб серед цих добутків було рівно 1996 від’ємних.
Задача 6.12. ( Районна олімпіада, 1996 -1997 н. р.) Два гравці по черзі кладуть фішки на клітинки дошки 101 ´ 101. Перший може покласти чергову фішку на будь-яку вільну клітинку, для якої кількість фішок, які вже стоять в стовпці та рядку, що містять цю клітинку, парна. Другий може покласти чергову фішку на будь-яку вільну клітинку, для якої така кількість непарна. Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє при правильній грі?
Задача 6.13. Є дошка 50 ´ 50. Двоє по черзі закреслюють вибрану клітинку, а також клітинки, які знаходяться над нею і справа від неї. Програє той, хто закреслить ліву нижню клітинку. Хто виграє при правильній грі: перший гравець чи його партнер?
Задача 6.14. Двоє грають в шашки на дошці 8 ´ 8. Правила гри відрізняються від правил звичайної гри в шашки тим, що не дозволяється «їсти» (збивати) шашки противника і перетворювати свої шашки в дамки. Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі: той, що починає гру, чи його партнер? Як треба ходити, щоб виграти?
Задача 6.15. Двоє по черзі ставлять на вільні клітинки шахової дошки слонів: один ― слонів білого кольору, другий ― слонів чорного кольору, роблячи це так, щоб виставлений слон не міг бути взятий жодним із вже поставлених противником слонів. (Слони кожного кольору можуть виставлятися як на білі, так і на чорні клітинки). Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі: той, хто починає гру, чи його партнер, і як треба ходити, щоб виграти?