Задача 2.1. З точки всередині опуклого многокутника опускають перпендикуляри на його сторони або їх продовження. Доведіть, що хоча б один перпендикуляр попаде на сторону.
Задача 2.2. Доведіть, що число 1 + 12 + 13 + … 1n не є цілим (n∈N) .
Задача 2.3. Доведіть, що коли довжини всіх сторін трикутника менші від 1, то його площа менша від 34 .
Задача 2.4. На колі розміщено 30 чисел, кожне з яких дорівнює модулю різниці двох наступних за ним (за годинниковою стрілкою). Сума всіх чисел дорівнює 1. Що це за числа і як вони розміщені по колу?
Задача 2.5. У кожній із трьох країн живуть по n математиків. Відомо, що кожен із них листується не менше як з (n + 1) іноземним математиком. Довести, що є три математики, які попарно листуються між собою.
Задача 2.6. Декілька мафіозі зібралися на переговори за круглим столом. Не дійшовши згоди, усі вони одночасно вихопили зброю і кожен єдиним пострілом застрелив когось іншого. Балістична експертиза виявила, що кожні два мафіозі, які сиділи за столом поруч, застрелили якихось двох мафіозі, що сиділи поруч. Доведіть, що якісь два мафіозі застрелили один одного, якщо відомо, що принаймні в одного із застрелених влучила більше, ніж одна куля.
Задача 2.7. У деякій країні є 100 аеродромів, причому всі попарні відстані між ними різні. З кожного аеродрому піднімається літак і летить на найближчий до нього аеродром. Доведіть, що на кожен з аеродромів не може прилетіти більше, ніж п’ять літаків.
Задача 2.8. Шість кругів розміщені на площині так, що деяка точка О лежить в середині кожного з них. Доведіть, що хоча б один з цих кругів містить центр деякого іншого.
Задача 2.9. На площині дано скінченну кількість точок, причому довільна пряма, яка проходить через дві з даних точок, містить ще хоча б одну з даних точок. Доведіть, що всі дані точки лежать на одній прямій.
Задача 2.10. Чи можна розмістити на площині 1000 відрізків так, щоб кін-ці кожного відрізка були внутрішніми точками деяких інших відрізків?
Задача 2.11. На колі розміщено 8 чисел, кожне з яких дорівнює сумі трьох наступних за ним (за годинниковою стрілкою). Знайдіть ці числа.
Задача 2.12. У шаховому турнірі брало участь n шахістів. Кожен шахіст зустрічався з кожним іншим один раз, причому жодна партія не закінчилась унічию. Відомо, що кожен шахіст знає прізвища учасників турніру, яких він переміг, а також прізвище тих, кого перемогли переможені ним. Доведіть, що є учасник, який знає прізвища всіх шахістів, що беруть участь у турнірі.
Задача 2.13. Доведіть, що в будь-якому опуклому п’ятикутнику знайдуться три діагоналі, з яких можна скласти трикутник.
Задача 2.14. На площині проведено n (n ≥ 3) попарно непаралельних прямих, причому через точку перетину будь-яких двох з них проходить ще одна з даних прямих. Доведіть, що всі ці прямі проходять через одну точку.