Задача 1.1. Чи можна з’єднати 5 міст дорогами так, щоб кожне місто було з’єднано з трьома іншими?
Задача 1.2. У кожній клітинці прямокутної таблиці розміром m × k клітинок написано число. Сума чисел у кожному рядку і кожному стовпчику дорівнює 1. Чи обов’язково має виконуватись рівність m = k?
Задача 1.3. Знайдіть суму всіх коефіцієнтів многочлена
(x3 - 2x2 + x + 1)30 .
Задача 1.4. У місті відмінників від кожної площі відходять рівно 5 вулиць. Доведіть, що число площ є парним, а число вулиць ділиться на 5.
Задача 1.5. У класі є 21 лижник, 14 баскетболістів та 11 плавців. Відомо, що кожен спортсмен займається двома видами спорту. Скільки в класі спортсменів?
Задача 1.6. Турист пройшов половину шляху між пунктами А і В зі швидкістю 4 км/год, а решту шляху до В ― зі швидкістю 6 км/год. На зворотному шляху від В до А він 2/3 цього шляху пройшов зі швидкістю, що дорівнює середній швидкості руху в напрямі від А до В, а решту шляху пройшов зі швидкістю 5 км/год. Знайдіть відстань між пунктами А і В, якщо відомо, що на зворотний шлях турист витратив на 2 хвилини менше, ніж на весь шлях від А до В. (Вказана середня швидкість дорівнює відношенню відстані від А до В до всього часу руху в напрямі від А до В).
Задача 1.7. На дні озера б’ють зі сталою потужністю джерела. Стадо з 12 слонів випиває озеро за 4 хвилини, а стадо з 9 слонів ― за 6 хвилин. Певного дня до озера підійшли 6 слонів. За скільки хвилин вони вип’ють усю воду з цього озера? (Об’єм води в озері на початку водопою є завжди одним і тим же).
Задача 1.8. З пунктів M і N одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи А і В. При зустрічі виявилось, що пішохід А пройшов на 6 км більше. Пішохід А прийшов у пункт N через 4,5 години, а пішохід В у пункт М через 8 годин після зустрічі. Знайдіть відстань MN.
Задача 1.9. Сільський гіпнотизер Іван Карпович розводить індиків та курей. Внаслідок його експериментів десята частина індиків вважає, що вони ― кури, а десята частина курей вважає, що вони ― індики. Якщо брати загалом, то п’ята частина птахів Івана Карповича вважає себе індиками. А якою є частка індиків у його пташнику насправді?
Задача 1.10. Відстань від залізничної станції до пляжу дорівнює 4,5 км. Хлопчик вирушив від станції до пляжу одночасно з рейсовим автобусом. Через 15 хвилин хлопчик зустрів автобус, який повертався із пляжу, і встиг ще пройти 9/28 км від місця першої зустрічі з автобусом, коли його наздогнав той самий автобус, який доїхав до станції і знову повертався до пляжу. Знайдіть швидкості хлопчика та автобуса, вважаючи їх сталими і що ні хлопчик, ні автобус не зупинялись, але біля пляжу і на станції автобус зупинявся на 4 хвилини.
Задача 1.11. Кілька робітників виконають роботу за 14 днів. Якби їх було на 4 більше і кожний працював щодня на 1 год довше, то ту саму роботу було б виконано за 10 днів. Якби їх було ще на 6 чоловік більше і кожний працював би щодня на 1 год довше, то цю роботу було б виконано за 7 днів. Скільки було робітників та скільки годин протягом дня вони працювали?
Задача 1.12. У пробірці знаходяться марсіанські амеби трьох типів: А, В, С. Дві амеби будь-яких двох різних типів можуть злитись в одну амебу третього типу. Після деякої кількості таких зливань в пробірці виявилась одна амеба. Який її тип, якщо відомо, що спочатку амеб типу А було 20, типу В ― 21, типу С ― 22?
Задача 1.13. Турист вийшов із табору о 15-ій годині і повернувся о 21-ій годині тим самим шляхом. Яку відстань він пройшов, якщо він не зупинявся, а його швидкість на горизонтальних ділянках дороги дорівнювала 4 км/год, при русі вгору ― 3 км/год, при русі вниз ― 6 км/год?
Задача 1.14. У двох посудинах знаходиться розчин солі різної концентрації. Об’єм першої посудини на 3 л менший, ніж об’єм другої. З кожної посудини взяли одночасно по 2 л розчину і взятий з першої посудини розчин перелили в другу посудину, а з другої ― в першу. Після цього концентрації розчинів в обох посудинах зрівнялися. Скільки літрів розчину було в обох посудинах?
Задача 1.15. З пункту А в пункт В через однакові проміжки часу вирушають три автомобілі. Вони прибувають до пункту В одночасно, потім вирушають до пункту С, який знаходиться на відстані 120 км від пункту В. Перший автомобіль прибуває туди через годину після другого. Третій автомобіль, прибувши до С, відразу ж повертає назад і за 40 км від С зустрічає перший автомобіль. Знайдіть швидкість першого автомобіля, вважаючи, що на всій трасі швидкість кожного автомобіля була сталою.
Задача 1.16. У будинку живуть 200 чоловік. Деякі із них дружать між собою. Кількість пар друзів у кожній трійці чоловік є непарною. Знайдіть найменшу можливу кількість пар друзів серед мешканців будинку.