4.1. Вказівка. Позначте кількості хамелеонів кожного кольору С, Б і М відповідно. Доведіть, що остачі від ділення на 3 різниць Б − С, С − М і М − Б не змінюються. 4.2. 191. 4.3. Вказівка. Розгляньте числа, збільшені на 1. Відповідь. (21)! − 1. 4.4. Вказівка. Інваріантом є парність суми чисел. Відповідь. Ні. 4.5. Ні. 4.6. Вказівка. Відмітьте 4 вершини куба, жодні дві з яких не з’єднані ребром та розгляньте різницю між сумою чисел у відмічених вершинах та сумою чисел у невідмічених вершинах. Відповідь. Ні. 4.7. Вказівка. Розгляньте квадрат з вершинами (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6). Відповідь. Так. 4.8. Вказівка. Розгляньте суму кількості каменів та кількості куп. Відповідь. Ні. 4.10. Вказівка. Сума чисел зав-жди буде ділитися на 5. Відповідь. Ні. 4.12. 15 або –14. 4.13. Вказівка. Покажіть, що сума квадратів величин, обернених до записаних чисел, не збільшується при такій операції. 4.14. Вказівка. Розгляньте півсуму квадратів чисел сірників у купах. Відповідь. Ні. 4.15. Вказівка. Розгляньте довжину межі частини поля, яка заросла бур’яном. 4.16. Вказівка. 1) Розклад добутку записаних чисел на прості множники повинен містити кожен степінь простого числа з парним показником. Відповідь. 1) Ні; 2) так; 3) так. 4.17. Вказівка. При кожній операції змінюємо знаки в тому рядку чи стовпчику, в якому мінусів більше, ніж плюсів, при цьому кількість мінусів зменшується на 1, на 3, на 5, …, чи на (2n + 1) (тут важливо, що 2n + 1 ― непарне число). Оскільки кількість мінусів скінченна, то й кількість таких операцій скінченна. 4.18. Вказівка. Розгляньте різницю чисел, записаних на кожній картці. Відповідь. в) Для всіх чисел вигляду 7k + 1, де k ― натуральне число. 4.19. Вказівка. Розгляньте значення цих многочленів при х = 1. Відповідь. Ні. 4.20. Вказівка. Розгляньте остачу від ділення цього числа на 9. Відповідь. Ні. 4.21. Вказівка. Розгляньте суму квадратів записаних чисел, вона не зменшується при кожній такій операції, причому при першій операції вона збільшилась. Відповідь. Ні. 4.23. Вказівка. Виконуючи заміни, ми у числі кількість одиниць або збільшуємо на 2, або не змінюємо, або зменшуємо на 2. У числі 10101 непарна кількість одиниць, а у числі 11110000 — парна. 4.29. Вказівка. Одна із двох сторінок аркуша має парний номер, а інша — непарний. Тому сума номерів сторінок одного аркуша є непарною. Такою ж є сума номерів сторінок 5 аркушів.