Задача 3.1. Доведіть, що існує натуральне число, останніми чотирма цифрами якого є 1972 і яке ділиться на 1971.
Задача 3.2. Чи можна знайти такий натуральний степінь числа 3, який закінчується на 0001?
Задача 3.3. В ящику лежать шкарпетки: 10 чорних, 10 синіх, 10 білих. Яку найменшу кількість шкарпеток треба витягнути навмання, щоб серед витягнутих виявилось дві шкарпетки: а) одного кольору; б) різних кольорів; в) чорного кольору?
Задача 3.4. У класі навчаються 25 учнів. Відомо, що серед будь-яких трьох з них є двоє друзів. Доведіть, що є учень, у якого не менш як 12 друзів.
Задача 3.5. Комісія з 60 чоловік провела 40 засідань, причому на кожному були присутні рівно 10 членів комісії. Доведіть, що якісь два члени комісії зустрічалися на засіданнях хоча б двічі.
Задача 3.6. Усередині правильного шестикутника зі стороною 3 см довільним чином розміщено 55 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що серед них знайдуться три точки, що утворюють трикутник, площа якого не перевищує 34 см2 .
Задача 3.7. Дано n + 1 різне натуральне число, кожне з яких менше від 2n. Доведіть, що з них можна вибрати три таких числа, одне з яких дорівнює сумі двох інших.
Задача 3.8. 1) Доведіть, що серед довільних 52 цілих чисел завжди знайдуться два числа, різниця квадратів яких ділиться на 100.
2) Доведіть, що з довільних 52 цілих чисел завжди можна вибрати два числа, сума чи різниця яких ділиться на сто.
3) Довести, що серед довільних 23 цілих чисел завжди знайдуться два числа, різниця квадратів яких ділиться на 100.
Задача 3.9. 11 учнів займаються в п’яти гуртках. Доведіть, що знайдуться такі два учні А та В, що всі гуртки, які відвідує учень А, також відвідує й учень В.
Задача 3.10. Доведіть, що серед будь-яких 10 цілих чисел знайдеться кілька (можливо, одне), сума яких ділиться на 10.
Задача 3.11. На площині дано 17 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Будь-які дві точки з’єднані відрізком. Кожен відрізок пофарбовано або в червоний, або в синій, або в зелений колір. Доведіть, що знайдеться трикутник з вершинами в даних точках, усі сторони якого мають один колір.
Задача 3.12. Кожна точка площини пофарбована у червоний або в чорний колір. Доведіть, що на цій площині знайдеться прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 2, а один з гострих кутів ― 30° , вершини якого є однокольоровими.
Задача 3.13. Доведіть, що:
- із будь-яких 13 різних чисел завжди можна вибрати такі два числа x та y, що
0<x-y1+xy<2-3;
- із будь-яких 12 різних чисел завжди можна вибрати такі два числа x та y, що
0<x-y1+xy≤2-3.
Задача 3.14. У квадраті, сторона якого дорівнює 1, взято 51 точку. Доведіть, що деякі три з цих точок обов’язково містяться всередині круга, радіус якого дорівнює 17 .
Задача 3.15. На площині дано 25 точок, причому серед довільних трьох з них знайдуться дві точки на відстані, меншій від 1. Доведіть, що існує круг радіус якого дорівнює 1 і який містить не менш як 13 даних точок.
Задача 3.16. Усередині квадрата зі стороною 1 розміщено кілька кіл, сума довжин яких дорівнює 10. Доведіть, що знайдеться пряма, яка перетинає хоча б чотири з даних кіл.
Задача 3.17. На відрізку завдовжки 1 зафарбовано кілька відрізків так, що відстань між довільними двома зафарбованими точками не дорівнює 0,1. Доведіть, що сума довжин усіх зафарбованих відрізків не перевищує 0,5.
Задача 3.18. Дано нескінченний папір у клітинку та фігура, площа якого менша від площі клітинки. Доведіть, що фігуру можна покласти на папір так, щоб вона не накрила жодної вершини клітинок.
Задача 3.19. Дано числа 21-1, 22-1, 23-1, …, 2n-1-1 , де n≥3 ― непарне число. Доведіть, що хоча б одне з даних чисел ділиться на n.
Задача 3.20. Дано n + 1 різне натуральне число, кожне з яких не більше від 2n. Доведіть, що з них можна вибрати два таких числа, що одне з них ділиться на інше без остачі.
Задача 3.21. У клітинках таблиці 50 × 50 записано цілі числа так, що різниця чисел, записаних у довільних сусідніх клітинках, не перевищує 10 (сусідніми вважаємо клітинки, які мають спільну вершину). Доведіть, що є хоча б шість клітинок, у яких записано одне і теж число.
Задача 3.22. Маємо 101 картку, на кожній з яких записано 10 різних чисел. Відомо, що для довільних двох карток існує рівно одне число, записане на обох картках. Доведіть, що існує деяке число, яке записане на всіх картках.
Задача 3.23. У магазин привезли 25 ящиків яблук трьох сортів. В кожному ящику лежать яблука одного сорту. Продавець стверджує, що у нього немає дев’яти ящиків з яблуками одного сорту. Чи не помиляється він?
Задача 3.24. У похід пішли 20 туристів. Самому старшому із них 35 років, а самому молодшому ― а) 16 років; б) 17 років. Чи вірно, що серед туристів є ровесники?
Задача 3.25. Чи можна розложити 44 кульки на 9 купок так, щоб їх кількість в різних купках була різною?
Задача 3.26. Заняття математичного гуртка проходять в дев’яти аудиторіях. Серед усіх відвідувачів, на ці заняття приходять 19 учнів із однієї і тієї ж школи.
а) Доведіть, що якби їх не поділяли, хоча б в одній аудиторії знайдуться не менше трьох із цих учнів. б) Чи вірно, що в якій-небудь аудиторії обов’я-зково знайдеться рівно три цих учнів?
Задача 3.27. Доведіть, що в будь-якій компанії із 5 чоловік є двоє, які мають однакову кількість знайомих в цій компанії.