Задача 5.1. На столі стоять 7 склянок догори дном. Дозволяється одночасно перевертати будь-які дві склянки. Чи можна добитись того, щоб усі склянки стояли дном донизу?
Задача 5.2. Дано шість чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Дозволяється до будь-яких двох із них додавати по 1. Чи можна зробити всі числа рівними?
Задача 5.3. На колі відмічено 20 точок, які є вершинами правильного 20-кутника. Після цього вони розбиті на 10 пар і в кожній парі точки з’єднано хордою. Доведіть, що якісь дві хорди мають однакову довжину.
Задача 5.4. Чи можна виписати в ряд по одному разу цифри від 1 до 9 так, щоб між 1 та 2, між 2 та 3, …, між 8 та 9 була непарна кількість цифр?
Задача 5.5. 100 фішок поставлено в ряд. Дозволяється міняти місцями будь-які дві фішки, що стоять через одну. Чи можна у такий спосіб переставити всі фішки у зворотному порядку?
Задача 5.6. Чи можна пофарбувати на папері в клітинку 25 клітинок так, щоб у кожної з них була непарна кількість пофарбованих сусідніх клітинок? (Сусідніми вважаються ті клітинки, які мають спільну сторону.)
Задача 5.7. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої: першого разу він стрибнув на 1 см в якусь сторону, другого разу ― на 2 см і т. д. Доведіть, що після 2001 стрибка він не може опинитися там, звідки починав стрибати.
Задача 5.8. 15 хлопчиків та 15 дівчаток сидять за круглим столом. Довесдіть, що у когось з них обидва сусіди ― хлопчики.
Задача 5.9. На прямій розміщено 5 різнокольорових фішок. Дозволяється міняти місцями будь-які дві сусідні фішки. Чи можна за допомогою 2001 такої операції виставити фішки у зворотному порядку?
Задача 5.10. У трьох вершинах квадрата сидять коники-стрибунці. Вони стали грати таку гру: кожен з коників може стрибнути в точку, симетричну відносно одного з двох інших коників. Чи може хоча б один коник-стрибунець потрапити в четверту вершину квадрата?
Задача 5.11. Знайдіть усі пари цілих чисел x, y, які задовольняють рівність xy(x + 3y) = 2009.
Задача 5.12. Нехай k1, k2, …, kn ― довільна перестановка чисел 1, 2, …, n. Доведіть, що коли n є непарним числом, то добуток (k1 – 1)(k2 – 2) … (kn – n) є парним числом.
Задача 5.13. Чи існує такий степінь двійки з натуральним показником, що його можна подати у вигляді суми декількох (принаймні двох) послідовних натуральних чисел?
Задача 5.14. У військовому підрозділі є 50 солдатів, і щодня чергують троє. Доведіть, що не можна організувати графік чергування так, щоб довільні два солдати чергували разом рівно один раз.
Задача 5.15. Чи існує 1968-гранник, в якому 777 граней є трикутниками, а решта граней ― чотирикутниками і шестикутниками?